-
P. González-Mazón, A. Hubard, R. Karasev. “Weak (1-ε)-nets for polynomial superlevel sets”, 2023.
Классическая теорема о центральной точке позволяет, для данной меры в евклидовом пространстве, найти такую точку, что каждое содержащее её полупространство содержит также некоторую долю (зависящую от размерности) данной меры.
Мы заменяем полупространства на множества, заданные одним полиномиальным неравенством данной степени, и замечаем, что одной центральной точки становится недостаточно. Тогда нам приходится искать конечное множество центральных точек, так что если множество надуровня многочлена данной степени содержит все эти точки, то оно также содержит некоторую долю (зависящую от размерности и степени) данной меры.
При оценки размера множества центральных точек сверху нам приходится решать геометрическую задачу об оценке числа Каратеодори образа отображения Веронезе. Этот вопрос и его модификации изучались ранее. Мы приводим относящиеся к делу известные результаты, доказываем некоторые новые оценки и обозначаем широко открытые вопросы в этой области.
-
M. Berezovik, R. Karasev. “Symplectic polarity and Mahler‘s conjecture”, 2022.
В этой работе мы рассматриваем симплектическую версию полярного преобразования и симплектически самополярные выпуклые тела. В отличие от евклидова случая, симплектически самополярные тела весьма разнообразны.
Мы доказываем простую оценку сверху на объём таких тел и показываем, что предполагаемая оценка снизу на их объём эквивалентна гипотезе Малера об объёме центрально-симметричного выпуклого тела и его евклидова полярного. Мы доказываем оценки снизу и сверху на симплектические ёмкости симплектически самополярных тел и напрямую проверяем, что гипотеза об оценке объёма снизу соответствует гипотезе Витербо об объёме и ёмкости. Кроме того, мы делаем и другие наблюдения вокруг понятия симплектической полярности.
-
A. Glazyrin, R. Karasev, A. Polyanskii. “Extensions of polynomial plank covering theorems”, 2022.
Мы продолжаем нашу работу arXiv:2112.05382 и доказываем комплексную полиномиальную теорему о покрытии полосками для многочленов, которые не обязательно однородны. Как следствие этого, мы обобщаем комплексную теорему о покрытии полосками Болла на случай, когда полоски не центрально симметричны и не обязательно круглые в сечении.
Также мы доказываем ослабленный вариант сферической полиномиальной теоремы о покрытии полосками для случая, когда полоски имеют разные ширины. Версия этой гипотезы с точным неравенством пока остаётся открытой.
-
A. Kamal, R. Karasev. “Systolic inequalities and chromatic number”, 2022.
Мы показываем ,что дискретные версии систолического неравенства (происходящего из работ Громова по римановой геометрии), которые оценивают снизу количество вершин в симплициальном комплексе, могут быть содержательно применены к графам, то есть комплексам размерности 1. Почти напрямую дискретное систолическое неравенство даёт неплохие оценки на количество вершин в графе через его хроматическое число и длину минимального нечётного цикла.
В комбинации с методами Берлова и Богданова, ранее применёнными к тому же вопросу, рассуждения из систолического доказательства дают ещё более усиленные оценки на количество вершин.
-
R. Karasev, A. Sharipova. “Convex bodies with all characteristics planar”, 2022.
В этой работе мы доказываем, что гладкие и сильно выпуклые тела в симплектическом R2n (при n>1) все характеристики которых плоские (содержатся в двумерных аффинных плоскостях), или все внешние бильярдные траектории которых плоские, являются линейными симплектическими образами шаров. Это модификация естественной гипотезы о том, что гладкие выпуклые тела, у которых все характеристики замкнутые и имеют одно и то же действие, являются симплектоморфными образами шаров.
-
Мы замечаем, что недавние полиномиальные доказательства Чжао и Ортеги-Морены (частных случаев) теорем о покрытии полосками в сферическом и комплексном случае дают более общую информацию о нулях вещественных и комплексных многочленов, ограниченных на единичную сферу. Мы доказываем некоторый полиномиальный аналог теоремы Банга о покрытии евклидова шара полосками, показывающий, как искать точку в единичном шаре, достаточно далёкую от множества нулей данного многочлена.
Как следствие этих результатов, мы доказываем гипотезу Полянского–Цзяна, которая обобщает задачу Фейеша Тота о покрытии сферы сферическими сегментами.
-
В двух наших предыдущих работах мы изучали сложность триангуляции в терминах количества вершин. На этот раз мы изучаем оценки снизу на количество
n -мерных граней. При наличии фундаментальной группы и нетривиальности некоторогоn -мерного класса когомологий группы на рассматриваемом пространстве нам удаётся доказать оценку2n . Это обобщает ранее известную оценку для триангуляций RPn , сделанную Баранем и Ловасом.В общем эта оценка не кажется особенно сильной, однако наши рассуждения проходят не только для симплициальных комплексов, но и для более общих объектов, регулярных симплициальных множеств. Неформально говоря, последние — это пространства, склеенные из симплексов так, что каждый симплекс оказывается вложен гомеоморфно. С этой точки зрения наша оценка точна для проективного пространства и нетривиальна (но скорее всего неточна) для
n -мерного тора. -
В этой статье мы доказываем комбинаторные аналоги систолического неравенства Громова. Мы делаем оценки снизу на количество вершин симплициального комплекса в терминах его рёберной систоли, то есть минимальной нестягиваемой петли, идущей по его рёбрам.
Аналогично риманову случаю, в котором требуется предположение о топологической «существенности», наши доказательства используют комбинаторный аналог существенности. А при более сильных предположениях в терминах длины произведения когомологий симплициального комплекса, мы доказываем количественно более сильные оценки.
Мы также иллюстрируем наши методы (являющиеся эволюционным развитием известных) в непрерывной (кусочно-римановой) постановке. Мы обобщаем и количественно усиливаем «принцип Минковского для когомологических произведений» Балашеффа и Карама. Как следствие, мы также обобщаем оценку Гута и Накамуры с многообразий данной когомологической длины на кусочно-римановы пространства.
-
S. Avvakumov, R. Karasev. “Equipartition of a segment”, 2020.
Мы доказываем, что для всякого натурального m отрезок можно разделить на m возможно вырожденных отрезков так, что на частях будет совпадать значение некоторой непрерывной функции от отрезка f, в предположении, что f может принимать положительные и отрицательные значения, но её значение на вырожденных и пустых отрезках равно нулю.
-
K. Adiprasito, S. Avvakumov, R. Karasev. “A subexponential size triangulation of RPn”, 2020.
В этой работе мои коллеги с небольшой помощью с моей стороны построили многогранник с субэкспоненциальной зависимостью количества вершин от размерности, который соответствует триангуляции действительного проективного пространства.
-
R. Karasev, A. Skopenkov. “Some ‘converses’ to intrinsic linking theorems”, 2020.
Маломерная версия нашего результата — это обратное утверждение к теореме Конвея-Гордона-Закса: для всякого нечётного целого m найдётся вложение полного графа K6 в трёхмерное евклидово пространство, такое что число зацепления образов треугольников 123 и 456 равно m, а числа зацепления образов других пар непересекающихся треугольников этого графа нулевые.
Мы также доказываем многомерный аналог, получая в метастабильной области размерностей ‘обратное’ утверждение к теореме Сигала-Спежа. За пределами метастабильной области размерностей у нас получается более слабый результат про почти вложения вместо вложений. Таким образом вопрос для вложений остаётся открытым.
-
A. Akopyan, R. Karasev. “When different norms lead to same billiard trajectories?”, 2019.
Мы следуем работам Милены Раднович и Сергея Табачникова и задаёмся вопросом, когда две не обязательно симметричные нормы порождают одно и то же правило отражения и одни и те же бильярдные траектории.
Из симплектического подхода к бильярдам ясно, что бильярдные траектории не меняются, когда полярное тело к единичному шару нормы параллельно переносится или преобразуется положительной гомотетией. Остаётся заметить, что исходный единичный шар нормы при этом претерпевает проективное преобразование, оставляющее на месте начало координат и переводящее в себя всякую прямую, проходящую через начало координат, не меняя её ориентацию в начале координат.
С предыдущими работами наше наблюдение связано тем, что евклидов шар с центром в начале координат при таких проективных преобразованиях переходит в эллипсоид вращения вокруг прямой, имеющий один из фокусов в начале координат.
-
Мы обнаружили, что препятствие вырезанного произведения к избавлению от r-кратных точек отображений в евклидово пространство размерности не менее 2 полностью отсутствует, если r не является степенью простого.
Как следствие из этого, мы улучшаем результаты о существовании таких отображений без r-кратных точек с попарно дизъюнктных граней и строим более сильные контрпримеры к топологической гипотезе Тверберга для случая, когда r не является степенью простого.
-
R. Karasev. “Huang's theorem and the exterior algebra”, 2019.
В этой заметке приведен вариант доказательства Хао Хуана “гипотезы о чувствительности”, в котором становится понятнее происхождение таинственной матрицы A в этом доказательстве. Текст содержит доказательство следующего утверждения: будем считать n-мерный булев куб Qn графом, в котором соединены вершины, отличающиеся только в одной координате. Тогда всякий индуцированный подграф на более чем 2n-1 (половине) вершин имеет степень какой-то вершины не менее квадратного корня из n.
-
S. Avvakumov, R. Karasev. “Envy-free division using mapping degree”, 2019.
В этой статье мы рассматриваем задачи о делении без зависти (envy-free). Классический подход к таким задачам часто сводится к рассмотрению отображения симплекса в себя и нахождения достаточных условий, когда образ отображения задевает центр симплекса. Например, в теореме Кнастера-Куратовского-Мазуркевича для обеспечения задевания используется некоторое граничное условие.
В этот раз мы рассматриваем условие некоторой эквивариантности относительно перестановок координат, или более слабое условие “псевдоэквивариантности”, которое имеет экономическую интерпретацию при делении отрезка на части. Оказывается, что такие версии задачи имеют положительное решение тогда, когда количество людей, на которых надо разделить отрезок или что-то ещё, является степенью простого, а когда количество людей не является степенью простого, то во многих случаях можно построить контрпримеры, в которых решения нет.
-
R. Karasev. “Mahler's conjecture for some hyperplane sections”, 2019.
В этой работе я использую симплектическую интерпретацию гипотезы Малера и устанавливаю её частные случаи, для гиперплоских сечений l_p шаров и многогранников Ханнера, а также для их гиперплоских проекций. Эти частные случаи (и предположительно общий случай гипотезы) сводятся к изучению поведения симплектического объёма при симплектической редукции.
-
Мы изучаем некоторые частные случаи гипотезы Витербо, которая связывает объём выпуклого тела с действием замкнутых характеристик на его границе. В этот раз мы рассматриваем случай гамильтониана классического типа в виде суммы слагаемых, зависящих только от координат и только от импульсов. Гипотезу удаётся доказать для выпуклых тел, задаваемых неравенством с некоторыми 2-однородными гамильтонианами классического типа, и для ещё одного нетрудного случая. Мы также обсуждаем остающиеся открытыми частные случаи этой гипотезы.
-
В этой статье мы продолжаем изучать деление пополам нескольких мер несколькими гиперплоскостями в евклидовом пространстве, начатое в arXiv:1803.02842. Мера делится пополам набором из D гиперплоскостей, если после правильного раскрашивания частей пространства в дополнении к этому набору гиперплоскостей, мера каждого цвета оказывается равна половине всей меры.
Кроме уже установленного случая, когда размерность n является степенью двойки, мы решаем ещё один частный случай с немного неоптимальным количеством гиперплоскостей. Мы также замечаем, что случай D=2 этой задачи эквивалентен проективной теореме о бутерброде, установленной ранее Павле Благоевичем и мною в [arXiv:1011.0869, теорема 10].
-
В этой статьей мы рассматриваем гипотезу Хедетними про хроматическое число произведения графов и её аналог (гипотезу Жу) для гиперграфов.
Мы проверяем эти гипотезу для некоторых семейств (гипер)графов, а также мы изучаем связанный вопрос об эквивариантном индексе произведения Z/p-пространств, для простого числа p. Для случая p=2 и гомологического индекса вместо геометрического мы доказываем гипотезу об индексе произведения.
-
В этой работе мы продолжаем изучать поперечники по Громову в смысле t-окрестностей для мер в евклидовом пространстве. В отличие от наших недавних работ, нас теперь интересуют оценки, верные для всех t, а не только асимптотически для t, стремящегося к нулю. Основную мотивацию даёт теорема Громова о поперечнике радиально симметричной гауссовой меры, и мы пытаемся обобщить её на другие меры. Например, оказывается возможным доказать точное утверждение для необязательно радиально симметричной гауссовой меры.
Мы также приводим примеры мер, не имеющих свойства поперечника в смысле t-окрестностей, включая достаточно широкий класс радиально симметричных мер с компактным носителем и их отображений в евклидово пространство размерности не менее двух. Мы также показываем, как упрощённая версия рассуждения Громова с "блинами" из доказательства теоремы о поперечнике даёт оценки на объёмы окрестностей подмногообразий, критических по отношению к (взвешенному) функционалу объёма, в том числе алгебраических подмногообразий в комплексных проективных пространствах. В дополнении мы более подробно объясняем теорему Кафарелли, которую мы используем для работы с необязательно радиально симметричными гауссовыми мерами.
-
V. Bui, R. Karasev. “On the Caratheodory number for strong convexity”, 2018.
В этой заметке мы изучаем K-сильную выпуклость, где K -- это некоторое выпуклое тело, а K-сильно выпуклая оболочка множества точек X -- это пересечение транслятов K, содержащих X.
Мы изучаем число Каратеодори для K-сильной выпуклости и доказываем некоторые общие факты про него. В частности, мы доказываем, что оно не менее размерности K. Эта оценка достигается для нетривиальных произведений “порождающих множеств”, в частности на произведениях выпуклых тел размерности не более 2. Мы также даём более простой пример K с неограниченным числом Каратеодори и делаем несколько других наблюдений по этой теме.
-
В этой статье мы изучаем задачу Нандакумара и Рамана Рао о разрезании выпуклой фигуры на плоскости на m частей равной площади и периметра. В серии предыдущих работ разных авторов задача была решена для случая, когда количество частей m=pk является степенью простого числа. Вторая версия этой статьи устанавливает результат для любого числа частей m.
-
A. Hubard, R. Karasev. “Bisecting measures with hyperplane arrangements”, 2018.
В этой статье мы изучаем такую задачу: сколько мер в Rn можно одновременно располовинить набором из D гиперплоскостей? Мы говорим, что мера располовинена набором D гиперплоскостей, если при правильной раскраске клеток дополнения к этим гиперплоскостям в два цвета, мера каждого цвета равна половине всей меры.
Мы доказываем, что если размерность n является степенью двойки, то можно одновременно располовинить nD мер; это оптимальный результат из соображений размерности. Для других значений n мы имеем лишь более слабые утверждения, получающиеся сведением к случаю степени двойки.
-
Мы улучшаем оценку Глускина и Островера для ёмкости Экеланда-Хофера-Цендера выпуклого тела K в симплектическом пространстве R2n. Эта оценка следует из оценки снизу на длину замкнутой зарактеристики на границе K в норме (не обязательно симметричной) с единичным шаром K, аналогичной оценкам в нашей работе 1401.0442.
В случае центрально симметричного K мы замечаем, что одна из замкнутых характеристик минимального действия на границе K сама должна быть центрально симметричной. Это позволяет использовать оценку снизу для её длины в соответствующей норме из книги Шаффера. Мы обобщаем это наблюдение про симметрию на случая инвариантности K относительно умножения на корень из единицы при отождествлении R2n=Cn.
-
В этой работе мы продолжаем начатое в arXiv:1006.2263 изучение инволюции на вещественном ориентированном или неориентированном грассманиане подпространств половинной размерности, переводящей подпространство в его ортогональное дополнение. На этот раз нам удалось найти гомологический индекс этого действия для всех размерностей, который даёт соответствующие теоремы типа Борсука-Улама.
-
A.V. Akopyan, R.N. Karasev. “Waist of balls in hyperbolic and spherical spaces”, 2017.
В этой работе мы изучаем поперечник в смысле Громова для шаров в модельных пространствах постоянной кривизны. В частности, мы доказываем, что для всякого непрерывного отображения из такого n-мерного шара в евклидово пространство размерности k, (n-k)-мерное содержание по Минковскому некоторого слоя отображения не меньше объёма (n-k)-мерного шара того же радиуса и кривизны.
Мы также получаем некоторые утверждения про шары в пространствах ограниченной сверху кривизны (CAT-пространства) и в необязательно симметричных нормированных пространствах. По ходу рассуждений мы изучаем поведение содержания по Минковскому при липшицевых отображениях между римановыми многообразиями.
-
Мы рассматриваем некоторые задачи геометрической оптимизации, имеющие отношение к минимизации вероятности ошибки передачи сообщения в присутствии гауссового шума. Одним из известных вопросов такого рода является “слабая гипотеза о симплексе” о том, что правильный симплекс является оптимальным среди наборов из n+1 точки на единичной (n-1)-мерной сфере.
Мы обсуждаем возможные подходы к этой гипотезе и формулируем близкие к ней гипотезы, в частности о минимизации гауссовой меры симплекса. Мы также рассматриваем антиподальные коды, применяем неравенство Шидака и получаем некоторые теоретические и точные результаты об их оптимальности. -
Мы продолжаем изучение поперечника по Громову для разных пространств. Несколько результатов этой статьи развивают идеи Бо'аза Клартага, а также идеи двоих из нас, изложенные в arxiv:1608.06279.
Мы также распространяем некоторые результаты на случай поперечника не для слоёв непрерывного отображения, а для семейств циклов, несущих ненулевую степень фундаментального класса.
Ещё одно направление — оценить снизу поперечник в смысле меры Хаусдорфа слоя для отображений в произвольный полиэдр, с константой зависящей только от размерности.
-
Дольников, Живалевич и Вречица доказали теорему о центральной трансверсали: Любые m хороших мер в Rn+m-1 можно линейно спроецировать на Rn так, что у них будет общая точка глубины не менее 1/(n+1) относительно каждой из мер.
Следуя предыдущей работе Магазинова и Пора, мы немного улучшаем константу 1/(n+1) за счёт увеличения размерности с n+m-1 до 2m+n-1 или 3m+n-1, в зависимости от того, является n+1 степенью двойки или нет.
-
A.V. Akopyan, R.N. Karasev. “A tight estimate for the waist of the ball”, 2016.
Мы используем идею Бо'аза Клартага для доказательства теорем о поперечнике типа Громова для меры Минковского с помощью липшицевого отображения одной меры в другую; и отвечаем на вопрос Громова о поперечнике евклидова шара.
Ещё одним средством доказательства является утверждение, восходящее к Архимеду, о том, что проекция (n+1)-мерной сферы на n-мерный шар переводит равномерную меру на сфере в меру, кратную равномерной мере на шаре.
-
P.V.M. Blagojevic, R.N. Karasev. “Local multiplicity of continuous maps between manifolds”, 2016.
В этой статье мы развиваем идеи из препринтов arxiv:1002.0660 и arxiv:1106.6176 про способы гарантировать кратность непрерывных отображений между многообразиями.
На этот раз мы используем вычисления в когомологиях конфигурационного пространства с помощью некоторых наблюдений из предыдущих работ Павле. Нам удаётся выписать характеристические классы, отвечающие за локальные кратные точки отображения.
Внимание. Мы нашли ошибку в вычислениях и попробуем исправить её, возможно получив другую окончательную формулу для характеристического класса.
-
A. Balitskiy, R. Karasev. “Dependence of the heavily covered point on parameters”, 2016.
Имре Барань доказал, что если дано много точек в Rn, то можно выбрать одну точку p так, что вероятность её накрытия случайным симплексом, заданным некоторой n+1 из данных точек, не менее некоторой положительной константы cn.
Недавно Громов придумал новый метод доказательства таких результатов, заодно улучшив константу cn. Мы изучаем его метод в целях понять, как это "сильно покрытая" точка зависит от параметров. Нам не удаётся найти непрерывную зависимость от параметров, но можно обнаружить "гомологически непрерывную зависимость" от параметров сильно покрытой точки. Это наблюдений позволяет вывести некоторые следствия стандартным образом.
Мы также приводим элементарные рассуждения, доказывающее простейшее из этих следствий: если дано много прямых на плоскости в общем положении, то можно выбрать одну точку так, что вероятность её "окружения" случайно выбранной тройкой из данных прямых не менее 2/9.
-
A. F. Holmsen, R. N. Karasev. “Colorful theorems for strong convexity”, 2015.
В этой статье мы обсуждаем аналоги теоремы Каратеодори для понятия сильной выпуклости. Ещё в своей кандидатской диссертации и в статье в “Моделировании и анализе информационных систем” 2001 года я доказал такой аналог теоремы Каратеодори. Теперь мы доказываем аналоги цветной теоремы Каратеодори, которую для обычной выпуклости доказал Имре Барань, и аналоги “очень цветных теорем”, которые придумали несколько человек, в том числе и Андреас Холмсен.
В этих результатах нужно, чтобы выпуклое тело, относительно которого определяется понятие сильной выпуклости, было “порождающим множеством”; это понятие ввели Е.С. Половинкин и М.В. Балашов. На плоскости любое выпуклое тело обладает этим свойством, а для трёхмерного случая мы даём пример, когда это свойство нарушается и соответствующие аналоги теорем Каратеодори тоже отсутствуют.
Также мы изучаем топологические критерии того, что одно выпуклое тело является слагаемым по Минковскому другого выпуклого тела. Один такой критерий доказать удаётся, но при несколько искусственном ограничении, что одно выпуклое тело замкнутое, а другое открытое.
-
Янош Пах доказал, что существует такая константа cd, что для любого семейства конечных множеств X0, ... , Xd в Rd можно выбрать их соответствующие подмножества Yi из Xi и точку p в Rd так что |Yi| не меньше чем cd|Xi| и всякая система представителей семейства Y0, ... , Yd содержит точку p в своей выпуклой оболочке.
В этой статье константа cd оценивается сверху в помощью построения некоторого примера семейства конечных множеств. На самом деле пример берётся достаточно очевидный, но вычисления получающейся константы уже достаточно сложны. В частности при этом вычислении возникает вопрос об оценке сверху минимального телесного угла при вершине произвольного симплекса в Rd. Именно здесь мне удалось сделать некоторый вклад в работу и улучшить оценку телесного угла в Теореме 6 текущей версии текста.
Параллельно мы с Арсением Акопяном написали ещё одну заметку о более точных оценках минимального телесного угла при вершине симплекса, она описана ниже.
Авторская версия доступна на arxiv.org.
-
A.V. Akopyan, R.N. Karasev. “Bounding minimal solid angles of polytopes”, 2015.
Мы исследуем вопрос, поставленный Кинчлем, Патаком, Саферновой и Танцером: Верно ли, у всякого симплекса в Rn есть телесный угол около одной из вершин, который не больше телесного угла при любой вершине правильного симплекса в Rn?
Оказалось, что в размерностях 3 и 4 ответ на этот вопрос утвердительный. Это следует из некоторых изопериметрических неравенств для симплексов в сферической геометрии. В этой статье мы также формулируем некоторые обобщения для других правильных многогранников.
Поправка после рецензирования: Оказалось, что мы неправильно поняли результат по изопериметрическому неравенству для сферических тетраэдров в статье Бёма. В итоге случай размерности 4 в нашей задаче остаётся открытым.
-
R.N. Karasev. “Residues and the Combinatorial Nullstellensatz”, 2015.
Мы изучаем выражение комбинаторной теоремы о нулях Ноги Алона в виде некоторого равенства, связывающего некоторый коэффициент многочлена от многих переменных и его значения в некоторых токах. Эту формулу предложил Федя Петров в нашей совместной статье “Partitions of nonzero elements of a finite field into pairs”.
В этой заметке показывается, что формула является на самом деле многомерной формулой вычетов. Такая точка зрения позволяет лучше понять старые и получить некоторые новые результаты. В конце статьи перечислены некоторые нерешённые или не до конца решённые задачи о конфигурациях точек, которые тоже имеют некоторый алгебраический оттенок.
-
Этот текст первоначально был написан моими соавторами Пабло и Эдгардо. Они изучали аналоги теорем “о бутерброде” и “делении ожерелья”, в которых несколько мер одновременно делились на две или более равные части. Деление производилось последовательным рассечением частей гиперплоскостями, направления которых были фиксированы изначально.
Мой вклад в текст представлен в разделе 4, где рассматриваются весьма общие разбиения Вороного и формулируется утверждение, одновременно обобщающее теорему Н. Алона “о делении ожерелья” и теорему Р. Живалевича “о делении занавесками”. После небольшой технической доработки это утверждение позволяет работать и с иерархическими разбиениями.
-
A.V. Akopyan, R.N. Karasev, F.V. Petrov. “Bang's problem and symplectic invariants”, 2014.
В этой статье мы продолжаем применять симплектические методы к задачам выпуклой геометрии. На этот раз мы рассматриваем задачу Тарского-Банга о покрытии выпуклого тела полосками (областями между двумя параллельными гиперплоскостями) и аналоги этой задачи. Мы пытаемся выяснить, что можно и что нельзя сделать в таких задачах с помощью симплектических методов.
Перевод этой задачи на симплектический язык, вместе с некоторыми результатами Кита Болла, позволяет сформулировать некоторую гипотезу о субаддитивности симплектических ёмкостей. Мы не можем установить свойство субаддитивности в полной общности, но всё же доказываем некоторые его частные случаи. Также мы доказываем несколько результатов из этой серии несимплектическими методами, включая один новый частный случай задачи Тарского-Банга в её исходной формулировке.
-
В этой работе мы продолжаем изучать задачи о бильярдах, предположительно связанные с гипотезой Малера о произведении объёмов выпуклого тела и его полярного тела. На этот раз мы рассматриваем случай не обязательно симметричной нормы, такую ситуацию можно назвать плоским финслеровым бильярдом.
Наша цель состоит в получении оценки снизу на длину замкнутой бильярдной траектории в выпуклом теле. Метод, разработанный Кароем Бездеком и Даниэлом Бездеком для случая евклидовой нормы, отлично работает и в случае несимметричной нормы. Это позволяет элементарно доказать известные факты (ранее доказанные симплектическими методами) и доказать точную оценку на длину кратчайшей замкнутой бильярдной траектории в выпуклом теле с нормой, в которой это выпуклое тело является единичным шаром.
С третьей версии статья сменила название. Предыдущее название “Elementary results in non-reflexive Finsler billiards”.
-
Мы рассматриваем геометрический джойн семейства из m конечных множеств X1, X2, ..., Xm в d-мерном евклидовом пространстве. Это просто множество всевозможных выпуклых комбинаций систем представителей данного семейства множеств.
Нетрудно доказать, что при достаточно большом m это множество оказывается стягиваемым. Нам удалось доказать это при m>d(d+1)/2 и доказать, что множество звёздное при m>d(d+1). Но вообще мы предполагаем, что геометрический джойн будет связен уже при m=d+1 и нам удаётся доказать это утверждение при d = 2 и d = 3.
Авторский текст статьи доступен по ссылке.
-
Раде Живалевич доказал вариант теоремы о бутерброде в произвольной размерности, теорему о делении "занавесками". Её двумерный случай достаточно прост: Если даны две хорошие меры на плоскости и веер их трёх углов, то можно выбрать один из углов веера и сдвинуть его параллельным переносом так, что он отрежет ровно половину от каждой из мер.
Мы рассматриваем варианты такой теоремы на плоскости для вееров из большего трёх количества углов. В некоторых случаях нам удаётся доказать аналогичное утверждение, а в некоторых мы строим контрпримеры.
Авторская версия статьи доступна по ссылке.
-
В этой статье замечено, что "количественные теоремы про размерность в смысле покрытий", такие как теорема Лебега про куб и теорема Кнастера-Куратовского-Мазуркевича про симплекс, допускают единое объяснение в терминах торической геометрии.
Это даёт некоторую общую точку зрения на такие утверждения, а также позволяет их немножко обобщить. Например, можно получить ответ на вопрос Дёмётёра Палвёлдьи, выложенный на сайте mathoverflow.net.
Авторская версия доступна на arxiv.org.
-
Это статья получилась слиянием двух текстов: моего arXiv:1011.4762 и arXiv:1010.4611 Альфредо Убарда и Бориса Аронова.
В этой версии немного прояснены и обобщены формулировки основных теорем и приложены некоторые усилия для объяснения доказательства топологической леммы. Мы используем подход Д.Б. Фукса и В.А. Васильева, которые ранее доказали частные случаи этой леммы. Более комбинаторное доказательство топологической леммы можно найти в статье arXiv:1202.5504 П. Благоевича и Г. Циглера.
Авторская версия доступна на arxiv.org.
-
В этой статье мы предлагаем новый подход к гипотезе Малера, сведя её к гипотезе Витербо из симплектической геометрии.
Мои соавторы в своих предыдущих работах установили соответствие между минимальной длиной замкнутой бильярдной траектории в выпуклом теле K, измеренной с помощью некоторой нормы, и ёмкостью Хофера-Цендера c(KxT), где T - единичный шар двойственной нормы. В этой статье мы доказываем оценку снизу на длину замкнутой бильярдной траектории несимплектическими методами: эта величина не менее 4, если K - единичный шар некоторой нормы, а T - двойственное ему тело (единичный шар двойственной нормы).
В симплектической геометрии Витербо выдвинул гипотезу, что объём выпуклого тела X в R2n не менее c(X)n/n!. Если она верна, то vol KxT ≥ 4n/n! для центрально симметричного выпуклого тела в Rn и его полярного тела, а это классическая гипотеза Малера. Чтобы закончить доказательство гипотезы Малера, теперь остаётся доказать гипотезу Витербо.
Авторская версия доступна на arxiv.org.
-
Б. Кнастер предположил, что для всякой непрерывной функции f на круглой сфере размерности n-1 и конечного множества X из n точек на сфере всегда можно найти изометрический образ X' множества X, на котором функция f станет постоянной. Эта гипотеза оказалась неверной, как доказали Борис Кашин и Станислав Шарек, хотя известны некоторые доказательства её частных случаев.
Мы анализируем известные подходы к задаче Кнастера и замечаем, что во многих случаях множество X оказывается орбитой действия конечной группы. Кроме того, эта группа G обычно оказывается p-тором, то есть произведением нескольких копий одной и той же циклической группы простого порядка. Далее, мы замечаем, что слабая гипотеза Кнастера (в которой размерности сферы разрешается быть намного больше, чем мощность множества X) верна для множеств X, которые можно заключить в орбиту p-тора. Мы называем такие множества сферически суб-p-торическими (spherical sub-p-toral).
Давно известно, что в евклидовой теории Рамсея, которая изучает одноцветные множества в произвольной раскраске евклидова пространства в заданное число цветов, понятие "подорбиты" действия конечной группы очень полезно. Мы заимствуем некоторые идеи из евклидовой теории Рамсея и доказываем, что слабая задача Кнастера решается положительно для неэкваториальных треугольников на двумерной сфере, а её евклидов аналог решается положительно для произвольного симплекса. Уже на одномерной окружности S1 мы находим множества, не являющиеся суб-p-торическими ни для какого простого p, и показываем, что подходы к теореме Дворецкого с помощью таких результатов типа Кнастера пока недостаточны.
Авторская версия доступна на arxiv.org.
-
В этой статье мы заметили один полезный факт о топологии многообразия Штифеля ортонормальных k-реперов в Rn: род Шварца естественного действия группы Wk на этом пространстве является максимально возможным, то есть равным размерности пространства плюс один. За Wk обозначена группа, которая переставляет вектора репера и произвольно меняет знаки некоторых из них.
У этого результата есть определённые геометрические следствия, касающиеся критически описанных вокруг данного выпулого тела параллелотопов и базисов в нормированных пространствах, ортонормальных по Биркгофу-Джеймсу. Определения этих понятий см. в тексте. В обоих случаях мы доказываем, что количество таких объектов не менее n(n-1)/2+1, где n - размерность рассматриваемого пространства.
Авторская версия доступна на arxiv.org.
-
A.V. Akopyan, R.N. Karasev, A.Yu. Volovikov. “Borsuk-Ulam type theorems for metric spaces”, 2012.
В этой работе мы с соавторами отталкиваемся от недавно придуманного Михаилом Громовым метода "стягивания в пространстве (ко)циклов" и применяем его к классическим теоремам Борсука-Улама и Хопфа. Применение оказывается успешным и позволяет обобщить эти классические теоремы.
После этого, используя полученные топологические результаты, мы исследуем аналоги поперечников Урысона и Громова для метрических пространств и доказываем некоторые результаты про поперечники. Однако, в области изучения поперечников пока остаётся очень много открытых вопросов.
-
Теорема о центральной точке утверждает, что для конечного множества X в Rd можно выбрать точку c так, что всякое полупространство, содержащее c, обязательно содержит не менее 1/(d+1) от точек X.
В одной из моих предыдущих статей была приведена "двойственная" теорема о центральной точке: дла конечного набора X гиперплоскостей в Rd общего положения можно выбрать точку c так, что всякий луч с началом в этой точке пересекает не менее 1/(d+1) элементов X. Эта теорема не следует из исходной теоремы о центральной точке через проективную двойственность. Читатель может проверить, что после двойственности получается другое утверждение.
Беньямин Мачке предложил вариант теоремы, который интерполирует между исходной и "двойственной" теоремами о центральной точке. Основная идея заключается в том, что для подпространства V в RPd надо найти подпространство W дополнительной размерности d-dimV-1 так, что всякая пара гиперплоскостей H и J, содержащих V и W соответственно, не отрезает слишком мало от данного конечного множества X. Здесь важно, что пара гиперплоскостей делит проективное пространство на две части.
Таким образом, мы доказываем проективную теорему о центральной точке, а также соответствующий аналог теоремы Тверберга. Мы даже доказываем более общую теорему, которая также включает теорему Тверберга о трансверсали как частный случай. Потом мы доказываем пару аналогичных утверждений, полученный некоторой перестановкой кванторов в исходных теоремах.
Авторская версия доступна на arxiv.org.
-
В этой работе мы изучаем возможность отрезать от некоторых d+1 мер в Rd одну и ту же долю.
Первый частный случай - это отрезание гиперплоскостью одной и той же (не известной заранее) доли от мер. Это не всегда возможно, но мы даём одно достаточное условие в терминах геометрических перестановок, порождаемых набором мер.
Другой случай - это отрезать заданную долю α от каждой меры выпуклым множеством. Мы доказываем, что без других предположений это возможно только при α вида 1/m с натуральным m и невозможно при других α.
Также приведены некоторые открытые вопросы, близкие к рассмотренным.
Авторскую версию статьи можно скачать с arxiv.org.
-
Теорема Каратеодори утверждает, что точка x принадлежит выпуклой оболочке множества X в Rn тогда и только тогда, когда она принадлежит выпуклой оболочке некоторого подмножества X из не более чем n+1 элементов.
Известны также случаи, когда константа n+1 может быть уменьшена. Например, теорема Фенхеля утверждает, что эта константа не более n для компакта X, компоненты которого нельзя отделить друг от друга гиперплоскостью.
В этой заметке мы рассматриваем несколько результатов, напоминающих теорему Фенхеля. Также мы доказываем соответствующие аналоги цветной теоремы Каратеодори и приводим одну теорему типа Тверберга для семейств выпуклых компактов.
Авторская версия статьи доступна на arxiv.org.
-
Рассмотрим d-мерный куб Q, поделенный на nd маленьких кубиков стандартным образом. Далее куб красится в m+1 цвет и мы хотим доказать нижнюю оценку на размер связного одноцветного подмножества.
Для m=d-1 (то есть d цветов) широко известно, что какое-то одноцветное множество соединяет две противоположные гиперграни Q, давая таким образом оценку снизу n. Для m=1 (2 цвета) Матушек и Прживетивый доказали оценку снизу приблизительно nd-1.
В этой работе метод Громова стягивания в пространстве циклов позволил доказать оценку снизу f(d,m) nd-m с некоторым неоптимальным коэффициентом f(d, m).
Авторская версия статьи доступна на arxiv.org.
-
Число Турана ex(H, n) графа H - это максимальное количество рёбер в графе G на n вершинах, не имеющем подграфа, изоморфного H. Для полных двудольных графов H=Ks,t существуют конструкции G с большим числом рёбер, заданные алгебраическим соотношением между парой точек в Fpd.
В этой работе мы изучаем отношения на Rd или Cd, которые определены над целыми числами, и таким образом дают графы над Fp, для которых можно указать асимтотическое (с ростом p) число рёбер.
Мы доказываем, что всякая гиперповерхность в RdxRd содержит решётку (то есть произведение конечных множеств SxT) размера примерно (2d-3)x(2d-3) по топологическим причинам. Это исключает конструкции интересных с точки зрения числа Турана графов, свободных от Ks,s, при s больших 3. С другой стороны, мы конструируем гиперповерхности в RdxRd без решёток размера dxd4d. Построение поверхностей без решёток dxd2, например, пока остаётся открытым вопросом.
Авторская версия статьи доступна на arxiv.org.
-
В этой работе мы рассматриваем следующий вопрос: можно ли вписать в выпуклый многогранник P правильный октаэдр? Под словом “вписать” мы подразумеваем расположить октаэдр так, чтобы его вершины лежали на границе P.
Для гладких выпуклых тел вместо многогранника P, и даже для гладко вложенных 2-сфер, положительный ответ был получен Макеевым. Но стандартный “переход к пределу” не позволяет сразу вывести утверждение для многогранника из утверждения для гладкой поверхности.
В этой работе мы достаточно аккуратно проводим предельный переход и решаем вопрос положительно для простых многогранников P. Случай непростых P, вообще говоря, остаётся открытым.
Авторская версия статьи доступна на arxiv.org
-
R.N. Karasev. “Geometric coincidence results from multiplicity of continuous maps”, 2011.
Б. Грюнбаум сформулировал пару типичных геометрических задач о совпадениях: сколько аффинных диаметров выпуклого тела в Rn гарантированно проходят через одну точку? Сколько центров (в некотором разумном смысле) гиперплоских сечений выпуклого тела в Rn гарантированно совпадут?
Один из возможных подходов к данной проблеме заключается в оценке снизу кратности отображений (максимальной мощности прообраза точки) между многообразиями равной размерности. В данной конкретной задаче нужно рассматривать только отображения проективного пространства в сферу той же размерности. Для некоторых значений n получаются некоторые нетривиальные оценки, но они всё же далеки от значения n+1, которое предполагал Грюнбаум.
-
Для всякого выпуклого разбиение выпуклого тела B мы пытаемся поместить гомотетичную копию B в каждое множество разбиения так, чтобы сумма соответствующих коэффициентов гомотетии была не менее 1. На плоскости это возможно для любого разбиения, в более высоких размерностях нам удаётся это сделать только для разбиений специального вида.
Эта задача имеет много общего с гипотезой Банга. Разница заключается в том, что в гипотезе Банга вместо разбиения на выпуклые множества рассматривается покрытие относительно простыми объектами: полосками между парой параллельных гиперплоскостей. Даже на плоскости эти две задачи не эквивалентны. Таким образом, собственно по гипотезе Банга мы пока не сделали никаких продвижений.
Авторская версия статьи доступна на arxiv.org.
-
В этой работе мы изучаем высшую топологическую сложность сферы. Говоря менее формально, мы изучаем следующий вопрос: можно ли всякий набор из m различных точек на сфере Sn соединить непрерывным образом букета отрезков, так чтобы всё зависело непрерывно от набора m точек.
Вопросы такого типа для m=2 изучались ранее и естественно возникали в задачах планирования движения между двумя точками на сфере.
Мы обнаруживаем, что во многих случаях ответ на этот вопрос отрицателен. Это доказывается исследованием гомологических инвариантов отображений между определёнными пространствами и обобщённого инварианта Хопфа. На самом деле, нам не известна ни одна конструкция, которая давала бы положительный ответ на этот вопрос. Наименьшим открытым случаем этого вопроса остаётся m=3 и n=4.
Авторская версия статьи доступна на arxiv.org.
-
R.N. Karasev and A.Yu. Volovikov. “Waist of the sphere for maps to manifolds”, 2011.
В этой статье мы обощаем теорему о поперечнике сферы Громова-Мемаряна и их теорему типа Борсука-Улама о делении мер на равные части.
Неформально говоря, мы доказываем что для всякого непрерывного отображения f : Sn-> M в многообразие размерности m < n прообраз некоторой точки не "меньше", чем стандартная (n-m)-мерная подсфера в Sn.
-
В заметке доказывается такой результат: Если в пространстве Rd случайно и независимо распределена d+1 вершина симплекса, то найдётся "центральная точка" c, такая что вероятность её накрытия симплексом не менее pd=1/(d+1)!.
Это утверждение для дискретных распределений вершин, при котором все вершины распределены одинаково, было доказано Имре Барань с оценкой pd порядка 1/(d+1)d+1. Доказательство использовало теорему Тверберга и цветную теорему Каратеодори. Борош и Фюреди улучшили оценку в двумерном случае до 2/9, а Янош Пах рассмотрел аналогичную задачу для d+1 вершины с разными распределениями.
В 2010 году Михаил Громов опубликовал новый подход в этой задаче, получив лучшие оценки (идентичные оценкам в этой заметке). Однако доказательства были весьма неэлементарны и недоступны основной массе специалистов в области дискретной геометрии.
В этой заметке доказательство Громова переведено на элементарный язык, при этом его размер существенно сократился. Другое отличие заключается в рассмотрении разных распределений для разных вершин симплекса.
Авторская версия статьи доступна на arxiv.org.
-
R.N. Karasev. “Equipartition of several measures”, 2010.
В этой статье доказываются результаты следующего вида: любые d мер в Rd могут быть поделены на k равных частей одновременно выпуклым разбиением (конкретно этот результат доказан ранее Пабло Собероном). Или: любая выпуклая фигура на плоскости может быть поделена на q частей равных площадей и периметров, если q - это степень простого.
Указанные выше вопросы были поставлены А. Канеко, М. Кано, Р, Нандакумар, Н. Рамана Рао и И. Барань. Кроме того мои результаты вдохновлены обобщением теоремы Борсука-Улама из работ М. Громова и Я. Мемаряна, в этой работе также доказывается некоторое обобщение их результата.
Я также пытался вывести теорему Н. Алона о делении мер на отрезке в рамках той же стратегии, но пока безрезультатно. По ходу изучения возник вопрос про многочлены одной переменной, который может быть интересен сам по себе.
-
Дискретная теорема о центральной точке утверждает, что для множества X из n=(d+1)(r-1)+1 точек в d-мерном евклидовом пространстве найдётся центральная точка с, такая что во всяком полупространстве, содержащем c, лежит не менее r точек из X.
Сильным обобщением этой теоремы является теорема Тверберга, которая в свою очередь допускает топологическое обобщение для непрерывных отображений из (n-1)-мерного симплекса в d-мерное евклидово пространство, но при этом требуется, чтобы r было степенью простого.
В этой работе доказывается топологическая теорема о центральной точке для отображений из (n-1)-мерного симплекса в d-мерное метрическое пространство (не обязательно евклидово), при n=(d+1)(r-1)+1 и любом r. Также рассматриваются аналоги теоремы Тверберга для отображений в d-мерные метрические пространства, при этом число n приходится увеличить.
Авторская версия статьи доступна на arxiv.org.
-
В этой статье мы доказываем утверждение, известное как гипотеза Громова-Мильмана: для натурального числа k и чётного натурального числа d существует натуральное число n=n(d,k), такое что любой многочлен степени d от n переменных равен (x12+...+xn2)d/2 после ограничения на некоторое k-мерное линейное подпространство Rn.
Мы также рассматриваем аналогичные результаты для нечётных степеней и комплексных многочленов (известные ранее как теорема Бёрча), и улучшаем оценки n(d,k) в этих случаях. Любопытно, что в случае чётного d мы пока не можем указать явно значение n(d,k).
Результаты статьи, доказываемые вычислениями в обычных когомологиях, принадлежат Дольникову, мой вклад заключается в доказательстве теоремы для чётных степеней с помощью обобщённой теоремы Борсука-Улама для p-групп.
Авторская версия статьи доступна на arxiv.org.
-
Теорема Реттрея утверждает, что всякое нечётное непрерывное отображение Sn-1->Sn-1 отображает некоторый ортонормальный базис в ортонормальный базис. В.В. Макеев использовал топологический факт, лежащий в основе теоремы Реттрея, для доказательства следующей теоремы: для любых двух абсолютно непрерывных вероятностных мер на Rn найдётся набор из n гиперплоскостей такой, что любые две его гиперплоскости делят каждую из мер на 4 равные части.
В этой статье мы рассматриваем случай нескольких отображений или мер. Конечно, в теореме типа Реттрея мы не сможем получить базис, но можно задать вопрос о нахождении максимального k, для которого некоторый ортонормальный k-репер отображается в ортонормальные k-реперы каждым отображением. Результаты о делении мер также следует соответственно скорректировать; кроме того, мы доказываем результат, который интерполирует между исходной теоремой Макеева и результатами Рамоса, Живалевича, Вречицы, Мани-Левицкой о делении мер.
Стоит упомянуть ещё один результат, так называемую “проективную теорему о бутерброде”, которая связывает деление нескольких мер в проективном пространстве пополам парой гиперплоскостей с задачей вложения этого же проективного пространства в евклидово пространство.
Авторская версия статьи доступна на arxiv.org.
-
В этой работе продолжается изучение аналогов теоремы о центральной точке для пересечения семейств выпуклых множеств лучами, см. также предыдущую статью по этой теме.
Задача в предыдущей статье ставилась так: для данного семейства выпуклых компактов найти точку, для которой каждый луч с началом в этой точке пересекает заданную долю множеств семейства. Здесь же ищется точка, для которой каждый луч с началом в ней не пересекает заданную долю множеств. Для первой задачи дополнительным условием являлось свойство d-пересечений в Rd, в этом же случае накладывается условие на кратность покрытия семейства.
На самом деле в этой статье аналог теоремы о центральной точке выводится из соответствующего аналога теоремы Тверберга, который доказывается топологическими методами.
Эта статья доступна на arxiv.org.
-
Диссертация собрана из немного переработанных предыдущих публикаций (до начала 2009 года), посвящённых топологическому подходу к задачам дискретной и выпуклой геометрии.
Результаты в основном базируются на вычислении класса Эйлера векторных расслоений в (относительных) когомологиях и использовании теорем типа Борсука-Улама-Люстерника-Шнирельмана для топологических пространств с действием конечной группы.
Среди основных результатов работы:
- Трансверсальные и “двойственные” обобщения топологической теоремы Тверберга.
- Оценки снизу количества замкнутых бильярдных траекторий в гладком выпуклом теле в Rd.
- Теорема о вписывании правильного кроссполитопа (многомерного октаэдра) в гладкое выпуклое тело.
-
R.N. Karasev. “Z2-index of the grassmanian G2nn”, 2010.
На вещественном грассманиане G2nn (пространство n-мерных линейных подпространств в R2n) имеется естественная инволюция, заданная ортогональным дополнением. В этой работе оценивается сверху и снизу гомологический индекс этой инволюции. Если n является степенью двойки, то эти оценки совпадают и индекс равен 2n-1.
Эти оценки имеют непосредственные геометрические следствия. Вот один пример: если n - степень двойки, а K1,...,K2n-1 выпуклые компакты в R2n, то существуют два ортогональных n-мерных линейных подпространства L и M, такие что для любого i проекции Ki на L и M имеют равные меры.
-
R.N. Karasev. “Regular embeddings of manifolds and topology of configuration spaces”, 2010.
В этой статье снова изучаются конфигурационные пространства многообразий, в приложении к регулярным отображениям, то есть таким непрерывным отображениям f : M->R^m, при которых образы любых попарно различных k точек аффинно (линейно) независимы. В этой работе даются некоторые новые препятствия для существования регулярных вложения в терминах некоторых характеристических классов касательного расслоения M.
Рассматривается подпространство Q^q(M) q-конфигурационного пространства M, которое можно отождествить с расслоением над M, слоем которого является Q^q(R^m), где Q^q(R^m) - это некоторое подмногообразие q-конфигурационного пространства R^m (m = dim M, q - степень двойки 2). Когомологии Q^q(M) (или их часть) могут быть вычислены и дают явные результаты о регулярных вложениях.
Явные вычисления в когомологиях также применяются и к задаче многократных самосовпадений непрерывных отображений между многообразиями, которая изучалась в одной из моих предыдущих статей.
-
В этой работе мы исследуем аффинные плоскости размерности m, которые пересекают все множества данного семейства выпуклых компактов F. Такие плоскости называются m-трансверсали.
Основная лемма (Теорема 1) этой работы утверждает, что если семейство F имеет достаточно “много” m-трансверсалей (в терминах нетривиальности некоторого класса когомологий на пространстве m-трансверсалей), то F имеет хотя бы одну r-трансверсаль. Здесь r<m и класс когомологий зависит от r,m, и размера семейства F.
Основная лемма (с использованием исчисления Шуберта и категории Люстерника-Шнирельмана многообразия Грассмана) позволяет привести обобщения цветной теоремы Хелли на случай, когда количество цветов меньше d+1 (d - это размерность пространства R^d, в котором происходит действие).
Мой вклад в эту работу - доказательство Теоремы 1, некоторые замечания по аналогам цветной теоремы Хелли, и рассмотрение комплексного пространства C^d и комплексных трансверсалей.
Эта статья также доступна на arxiv.org.
-
В этой статье мы доказываем теоремы о разбиении ненулевых элементов конечного поля на пары. В случае поля F_p разности в парах можно произвольно задать заранее, в случае полей порядка pk требуется предоставить для каждой пары несколько вариантов. Также доказываются некоторые обобщения этих результатов для упаковок транслятов подмножеств в некотором поле.
Мой вклад в работу заключается в топологических доказательствах. Фёдор Петров дал алгебраические доказательства для разбиений на пары Fp*, и придумал несколько похожих результатов, доказываемых тем же методом.
Авторская версия статьи доступна на arxiv.org.
-
В этой работе рассматривается мера невыпуклости простой многоугольной области на плоскости. Эта мера неформально определяется как минимальный (отрицательный) поворот касательной при обходе границы против часовой стрелки. Доказывается, что для “не очень невыпуклых” областей эта мера не уменьшается при операции суммы Минковского, гарантируя таким образом отсутствие “дыр” в сумме Минковского.
Авторскую версию статьи на русском языке можно скачать здесь.
-
R.N. Karasev. “A note on Makeev's conjectures”, 2010.
Статья принята к публикации в “Записках научных семинаров ПОМИ”.
В этой статье рассматривается следующий аналог задачи Кнастера: описать все множества из четырёх точек на двумерной сфере S, такие что для любой непрерывной функции f : S->R существует вращение сферы, которое перемещает X в линию уровня функции f.
В.В. Макеев предположил, что это утверждение верно для всякого набора из четырёх точек, лежащих на одной окружности. Точки должны лежать на одной окружности, так как для линейной функции f линии уровня - это и есть окружности. Однако, в этой статье к этой гипотезе построен контрпример.
Другая гипотеза Макеева утверждает, что четырёхугольник можно вписать во всякую замкнутую гладкую простую кривую на плоскости тогда и только тогда, когда он вписан в окружность. На данный момент контрпримеров к этой гипотезе не известно, и некоторые новые её частные случаи доказываются в этой работе.
-
R.N. Karasev. “Multiplicity of continuous maps between manifolds”, 2010.
В этой работе рассматривается следующий вопрос: если дано непрерывное отображение f :M-> N между многообразиями, то есть ли какие-то достаточные условия существования совпадающих наборов из q точек, то есть таких наборов q различных точек x_1,..., x_q из M, для которых f(x_1) = f(x_2) = ... = f(x_q)?
Показано, что существуют определённые характеристические классы виртуального расслоения f^*TN-TM, которые гарантируют наличие q-кратных точек для отображения f. Этот результат напоминает известные результаты о достаточных условиях наличия особенностей гладких отображений. В частности доказывается нетривиальная оценка на кратность отображения проективного пространства определённых размерностей в евклидово пространство такой же или немного большей размерности.
Даются некоторые приложения развитой техники к оценке снизу рода Красносельского-Шварца конфигурационных пространств многообразий, в продолжение моих предыдущих результатов.
-
В статье изучаются обобщённые конфигурационные пространства, то есть пространства упорядоченных наборов по q точек некоторого топологического пространства X, в которых запрещены совпадения по k точек. На самом деле в статье в основном рассматривается случай евклидова пространства X=R^n.
В качестве некоторой меры сложности таких пространств рассматривается род в смысле Красносельского-Шварца-Клапп-Пуппе действия группы перестановок (точнее некоторой её транзитивной подгруппы) на этих простраствах. Этот род оценивается в этой статье сверху, оценкам снизу была посвящена моя статья в “Topology Apps”.
Из полученных оценок рода выводятся результаты типа Борсука-Улама-Коэна-Ласка о самосовпадениях отображения, также обсуждается связь с задачей Кнастера.
Статья также доступна на arxiv.org.
-
Статья была отклонена в “Discrete and Computational Geometry”, рецензент посчитал основную лемму про произведение симплексов известной.
В этой работе несколько обобщается раскрашенная (цветная) лемма Кнастера-Куратовского-Мазуркевича, получается аналог этой леммы для произведения двух симплексов. Следует признать, что важный частный случай этой леммы и основная идея доказательства были известны ранее, но известность самой леммы всё же не доказана.
Из этой леммы выводятся некоторые теоремы о пересечении семейств фигур на плоскости прямыми, параллельными осям координат.
-
Это статья продолжает серию работ про вписавание кроссполитопов и деление мер на равные части. На этот раз рассматривается случай симметрии относительно действия группы Z_2^k. Оказывается, что этой симметрии недостаточно и для получения результата надо дополнить эту симметрию до симметрии относительно некоммутативной группы вида D_8 \times (Z_2)^{k-1}.
Авторская версия статьи доступна также на arxiv.org.
-
R.N. Karasev. “Analogues of the central point theorem for families with d-intersection property in Rd”, Combinatorica, 2013.
В статье рассматривается семество F выпуклых компактов в Rd, в котором любые d множеств имеют общую точку, это минимальное ослабление условия теоремы Хелли. Для таких семейств доказывается аналог теоремы о центральной точке и теоремы Тверберга. В этих аналогах находится точка p из Rd такая, что всякая кривая из p, уходящая на бесконечность, пересекает достаточно много множеств из F. Также доказываются аналоги этой теоремы, в которых вместо точки находится аффинная m-плоскость с аналогичными свойствами.
Авторская версия статьи доступна на arxiv.org
-
Доказываются некоторые результаты о топологии пространства канонического расслоения над многообразием Грассмана, в духе теоремы Борсука-Улама о покрытии сферы и шара. Из этих результатов выводятся следствия:
- Достаточные условия существования плоской k-трансверсали (аффинной k-плоскости, пересекающей все множества из заданного семейства) для семейства из n+1 компакта в R^n;
- Достаточные условия для возможности разделить n абсолютно непрерывных вероятностных мер в R^n на части заданного размера одной гиперплоскостью;
- Некоторые теоремы типа Хелли для плоских трансверсалей.
Авторскую версию статьи на русском языке можно скачать здесь, на английском — на arxiv.org.
-
Доказываются новые частные случаи гипотезы Кнастера о функциях на сфере. В качестве множества, которое нужно поместить в поверхность уровня функции берётся орбита действия p-тора без одной точки. В основном доказательство базируется на идеях Воловикова, использованных при рассмотрении частных случаев задачи Кнастера для полных орбит p-торов.
Авторская версия статьи доступна на arxiv.org.
-
В статье развиваются идеи из статьи про бильярды, рассматриваются пространства типа конфигурационных (configuration like spaces). Для таких пространств доказываются оценки снизу на когомологический индекс i_G, введённый Воловиковым, а следовательно и на род Шварца и эквивариантную категорию Люстерника-Шнирельмана.
Авторскую версию статьи можно скачать на arxiv.org
-
В статье рассматриваются бильярды в гладких выпуклых телах в R^n. Для таких бильярдов изучаются замкнутые траектории, которые ударяются о границу ровно m раз за период. С помощью теории Люстерника-Шнирельмана, в модификации Красносельского-Шварца, получена оценка снизу (n-2)(m-1)+2 на число различных таких траекторий, в случае простого m.
Статью также можно скачать на arxiv.org.
-
R.N. Karasev. “Inscribing a regular crosspolytope”. 2009.
Статья также подана в “Математические заметки”, и видимо потерялась там.
Доказывается, что в гладкую гиперповерхность S в Rd, диффеоморфную n-1-мерной сфере, можно вписать правильный кроссполитоп (многомерный октаэдр), по крайней мере в случае, когда n - нечётная степень простого. Исследуется вопрос о том, насколько можно избавиться от условия гладкости. Случай степени двойки будет рассмотрен в одной из следующих статей.
Авторскую версию статьи на русском языке можно скачать здесь.
-
В этой статье доказаны некоторые результаты о разбиении меры в R^n на 2n равных частей системой конусов, получающейся движением из данной системой конусов с некоторой группой симметрией. Результаты основаны на доказательстве А.Ю. Воловикова частного случая гипотезы Кнастера о функциях на сфере для орбит p-торов.
Авторскую версию статьи можно скачать на arxiv.org. По сравнению с официально опубликованной версией в ней исправлено доказательство леммы в разделе 4.
-
В этом обзоре рассматриваются различные приложения методов алгебраической топологии к задачам комбинаторной и выпуклой геометрии. В частности, приводятся некоторые результаты автора, близкие к данной теме.
Авторскую версию обзора можно скачать здесь.
-
Рассматривается следующий “двойственный” вариант теоремы о центральной точке: Если даны N гиперплоскостей в R^n общего положения, то найдётся точка x такая, что всякий луч с началом в x пересекает не менее N/(n+1) из данных гиперплоскостей. Также доказываются обобщения этого утверждения, которые можно назвать двойственными теоремами Тверберга, и двойственными теоремами о центральной трансверсали.
Также в этой работе доказано обобщение теоремы Брауэра о неподвижной точке для нескольких послойных отображений на некотором векторном расслоении.
В опубликованном варианте статьи содержалось неправильное доказательство леммы о существовании выпуклого тела, которое данное семейство ортогональных проекций отображает в себя. Позднее Имре Барань указал мне на то, что эта лемма известна с 1984 года. Соответственно исправленная английская версия доступна на arxiv.org.
-
Теорема Хелли утверждает, что семейство выпуклых компактов в R^d имеет непустое пересечение тогда и только тогда, когда каждое подсемейство размера не более d+1 имеет непустое пересечение. В этой статье изучался такой вопрос: если каждое подсемейство размера не более d имеет непустое пересечение, то можно ли гарантировать какую-то оценку на “piercing number” (см. выше) для семейства?
Для семейства гиперплоскостей ответ, естественно, отрицательный, но для некоторых других семейств: семейств шаров, или положительно гомотетичных друг другу симплексов некоторые оценки можно установить.
Авторскую версию статьи можно скачать здесь
-
В этой статье доказываются некоторые результаты такого вида: если топологическое пространство X отображается в d-мерное метрическое пространство Y, то найдётся точка p из Y, такая, что категория Люстерника-Шнирельмана (окрестности) её прообраза в X не менее категории Люстерника-Шнирельмана всего X, делённой на d+1. Доказывается, что аналогичные результаты верны и для других целочисленных функций топологических пространств, похожих на категорию Люстерника-Шнирельмана в смысле выполнения трёх аксиом (монотонность, субаддитивность, и оценка для дизъюнктного объединения).
Английскую версию статьи с некоторыми исправлениями и дополнениями можно скачать с arxiv.org
-
В этой работе рассматривается гипотеза Тверберга о трансверсали и доказываются её новые частные случаи. Смысл гипотезы Тверберга в следующем: если в d-мерном пространстве даны m+1 конечное множество S_0, ... , S_m, то каждое множество S_i можно разделить на r_i частей S_i1, ... , S_ir_i так, чтобы выпуклые оболочки всех S_ij можно было пересечь одной m-плоскостью (аффинным подпространством размерности m). Обязательно надо требовать, чтобы количество элементов в S_i было не менее (r_i-1)(d-m+1) + 1.
В данной работе доказывается эта гипотеза для случая, когда числа r_i являются степенью одного и того же простого числа. Причём если это простое число не двойка, то требуется также чётность числа d-m. Эта гипотеза доказывалась и ранее, но с более ограничительными условиями, в частности, требовалось, чтобы все r_i были равны одному и тому же простому числу.
Авторскую версию статьи можно скачать здесь.
-
В этой работе доказывается утверждение, обощающее результаты из статьи про задачу А. Бездека и разбиения многогранника. Фактически получается некоторое обобщение леммы Кнастера-Куратовского-Мазуркевича (ККМ), из которого прямо следуют некоторые предыдущие результаты и их обобщения.
-
В этой статье развиты некоторые идеи из статьи про задачу А. Бездека. В частности доказано, что всякий выпуклый многогранник P единичного объёма с гипергранями F_i, можно разбить на выпуклые множества A_i так, что пересечение каждого A_i с границей P равно F_i, и объёмы множеств A_i равны наперёд заданным положительным числам. Естественно наперёд заданные числа должны иметь единичную сумму.
Авторскую версию статьи можно скачать здесь.
-
В этой статье опубликован кусок из диссертации, в котором сравниваются два определения сильной выпуклости.
-
Статья для математического просвещения про школьную геометрию на плоскости. В ней рассматриваются проективные преобразования, оставляющие на месте некоторую окружность. В основном внимание уделяется симметриям в метрике Минковского, для которой окружность является множеством нулей, эти симметрии порождают группу проективных преобразований, оставляющих на месте окружность.
В этих терминах доказываются некоторые известные теоремы, типа теоремы Паскаля и т.п.
-
Диссертация собрана из предыдущих публикаций (см. выше), при этом раздел про сильную выпуклость, “порождающие” множества и тела постоянной ширины в банаховых пространствах существенно переработан.
-
Эта статья касается некоторых обобщений известной задачи: если внутри выпуклого n-угольника P на плоскости даны n точек, то точки можно так поставить в соответствие сторонам, что получившиеся треугольники (из каждой точки и соответствующей ей стороны получается треугольник) будут покрывать P. У этой задачи также есть вариант, когда требуется, чтобы треугольники попарно не перекрывались, есть и соответствующие многомерные обобщения.
Вопрос А. Бездека по сути состоял в том, что произойдёт, если в этой задаче точки не обязательно лежат внутри P. В этой статье на этот вопрос также даётся ответ.
-
В этой статье изучается понятие M-сильно выпуклого множества, где M - замкнутое выпуклое множество. M-выпуклое множество определяется как пересечение некоторого множества параллельных переносов (транслятов) M. Это понятие имеет хорошие свойства, если M является порождающим множеством (см. выше). В частности, в данной работе доказывается аналог теоремы Каратеодори для случая, когда множество M - порождающее.
Следует отметить, что в работе доказана лемма, интересная сама по себе: Если A и B - выпуклые компакты в конечномерном евклидовом пространстве, то разность (в теоретико-множественном смысле) множеств A и A+B (сумма Минковского) является стягиваемым множеством.
-
В этой статье изучаются выпуклые множества M, обладающие следующим свойством: всякое пересечение конечного числа параллельных переносов множества M является слагаемым M в смысле суммы Минковского. Такие множества называются “порождающими”. В частности, евклидовы шары являются порождающими множествами, и произведения порождающих множеств являются порождающими. В работе доказано, что в определении порождающего множества достаточно рассматривать попарные пересечения, вместо пересечения произвольного числа транслятов.
-
Статья в “Математическом просвещении” возникла из решения одной олимпиадной задачи. Определим сумму Минковского двух множеств A и B как множество всевозможных сумм a+b, где a из A, b из B. Если исходные множества выпуклы, то их сумма Минковского тоже выпукла. Возникает, в частности, вопрос об оценке объёма A+B через объёмы исходных множеств. Оценку объёма снизу даёт неравенство Брунна-Минковского, также известны некоторые оценки сверху. Один частный случай оценки сверху в трёхмерном случае, использующий сравнительно элементарную технику, рассмотрен в этой статье.
Следует отметить, что А.Я. Канель-Белов написал часть текста статьи и значительно отредактировал статью в целом.
-
В этой публикации доказана гипотеза Грюнбаума о том, что семейство F транслятов (параллельных переносов) некоторого двумерного выпуклого компакта можно "проткнуть" тремя точками, если любые два множества в этом семействе пересекаются.
Под "проткнуть тремя точками" подразумевается: найти такое множество T из трёх точек, что любое множество K из семейства F имеет с множеством T непустое пересечение. Вообще, точечное множество, которым можно "проткнуть" некоторое семейство множеств F, называется "трансверсалью" семейства, минимальный размер точечной трансверсали называется по-английски "piercing number".
Эти результаты публиковались также на русском языке в Записках научных семинаров ПОМИ.
|
Новости
|
   
|
||||||
 
© 2009 Роман Карасёв |
|||||||
